Google ハングアウトとは Google アカウントで利用でき、ビデオ通話、音声通話、チャットができる無料アプリです。Chromebook では Skype でビデオ通話や音声通話が出来ないので Google ハングアウトを使うことになります。
Chromebook でも Skype でチャットのみなら出来ます。
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ChromebookでもSkypeが使えるようになったよ！（条件付）
Chromebook をお使いの方に朗報です。何と Chromebook で Skype が使えるようになりました（条件付）。 Skype for Web 一般提供開始。日本語を含む30言語対応、IM ...
Chromebook でも Gmail アプリからハングアウトを利用可能です。
Gmail を開くと画面右下にハングアウトの部分があります。ここからチャットやビデオ通話が可能です。
スリープすると再接続できなくなる
Chromebook でハングアウトのビデオ通話中にスリープになると通話は切断されます。ここまでは良いです。スリープから復帰してハングアウトでビデオ通話をしようとすると、ネットワークエラーで接続ができなくなります。これを解消するには再起動しかありません。こんなおかしな仕様はおかしいです。
対処法
Chrome ウェブストアより、Google ハングアウトのアプリをインストールして使うと、スリープになってもネットワークエラーに陥る事はありませんでした。つまり、Gmail でハングアウトを使うのではなく、ハングアウトのアプリをインストールして使うという事です。Gmail でもハングアウトを使えますが、アプリがインストールされているわけではないのです。
もし同じ現象にお悩みなら、ハングアウトのアプリをインストールしてお試しください。